Pourquoi lever la main droite pour dire "je le jure" ?

Nous sommes héritiers de l'Antiquité sur bien des points.
La gauche en latin se dit ''sinistra'', avec tout le symbolique ''sinistre'', de mauvais augure qui va avec.
La droite, est la place d'honneur (y compris au Moyen-Orient Ancien, où siéger à la droite du chef de famille, de clan, etc. est un honneur).
Tout ce qui est à gauche est gauche. C'est peu adroit, mais c'est comme ça !
Ainsi, donc, si je lève la main gauche, c’est de mauvais augure, voire de mauvaise foi.

le Christianisme a ensuite adopté la symbolique romaine droite-gauche, avec d'autant plus de facilité que le judaïsme ancien associait aussi le côté droit au côté honorifique.
Les expressions et usages liés à la gauche et la droite ont donc naturellement découlé de ces a priori, jusqu'à lever la main droite (parfois sur la Bible) pour jurer au tribunal.

Complement internaute :
Pour les Romains, la gauche est associée aux femmes (de même qu'à l'espace inférieur) et le droit, aux hommes et aux dieux. Parfois, dans le même contexte, le droit était associé au côté gauche (au moins dans le sens de 'droit chemin'), par exemple le chemin d'un domaine à celui du prince, mais aussi par extension le chemin d'un territoire à celui du roi. Par extension, ce sont souvent les mauvais personnages qui se trouvaient sur la gauche, par exemple les traîtres, les débiteurs de l'empereur. La droite, au contraire, était le côté honorable et les hommes qui l'occupe sont associés à la noblesse. Par extension, ce sont souvent les bien-portants et les vertueux qui se trouvent de la gauche.