Pourquoi 'un trophée' avec un 'e' ?

Parce que c'est une adaptation générique du bas latin ''trophaeum'', (latin ''tropaeum''). On a donc gardé les sons ''é'' suivi du son ''e'', maintenant totalement muet.
Il en est de même pour musée, qui vient de ''musaeum''.

Complement internaute :
Par ailleurs, les termes qui étaient d'origine latine sont systématiquement écrits en capitales. Par exemple, un musée, un aquarium et une cathédrale. Les noms d'animaux sont d'autre part toujours écrits en minuscules, même s'ils sont de noms d'institutions, de personnages, ou de choses, et même s'ils ont la particularité de s'écrire à l'italique. On trouve par exemple : * un hippocampe (p. ex. un hippocampe à l'église Saint-Jean) * un hippocampe (p. ex. un hippocampe aux abords de la cathédrale Notre-Dame) * un hippocampe (p. ex. un hippocampe à l'église Saint-Paul) * un hippocampe (p. ex.