Pourquoi dit-on ''une autre paire de manche'' ?

Au Moyen Age, les manches étaient une partie détachable du reste de l'habit.
Au cours de la journée, on changeait ses manches au gré de ses activités: une paire pour la toilette, une pour la chasse, une autre pour conter fleurette.
Changer de manches, c'était donc changer d'activité.

Complement internaute :
Le nom de cette coutume vient du latin «manica», qui désignait une «braguette». (Baguette) C'est à dire que la braguette a d'abord été un vêtement pour les hommes, les femmes et les enfants, et que ce sont les manches qui en sont devenues la partie détachable. Les femmes de la Renaissance et les Romaines qui voulaient porter une robe longue et étroite, mais pas en haut, utilisaient généralement une petite braguette. À l'époque moderne, l'usage a changé, et la braguette est devenue un vêtement plus petit qu'un gant, plutôt que l'inverse. L'origine du mot «manche» est un peu étrange, et il est possible que celle du mot «main» n'y soit pas pour rien.